НАУЧНО - ПОПУЛАРНИ СТАТИИСе залагаме за зголемување на свеста за местото и улогата на математиката во науките, технологијата, наставата, природата и културата.
|
НЕЛИНЕАРНАТА ДИНАМИКА НА ЉУБОВНИТЕ АФЕРИ
(Темата е презентирана и на Работилницата „Математиката и предвидувањата“, 11 мај 2016 година)
(ПОИМ статија), (труд)
(ПОИМ статија), (труд)
Љубовта, како појава меѓу луѓето, е предмет на проучување на многумина научници, особено биолози, хемичари и психолози. Таа е причина за многу часови поминати во размислување и дискусија меѓу нас. Резултат на хормоналната активност, односнo чин на ослободување на енергија после одредена хемиска реакција, спиритуално поврзување или сродни атоми уште од Големата Експлозија, се неколку од дадените размисли и резултати од спроведените истражувања за љубовта, сите со цел што подобро да се објасни оваа појава.
Доближувањето до суштината на љубовта е нешто што ги поттикнало и математичарите да пробаат да ја квантифицираат љубовта со употреба на равенки и броеви. Првите математички модели за романтичните релации помеѓу човечките индивидуи датираат од пред нешто повеќе од 50 години. Денес се развиени повеќе математички модели за објаснување на динамиката на љубовна афера, како меѓу двајца, така и меѓу тројца и повеќе партнери. Почетокот на ваквите истражувања го направил американскиот професор на катедрата по применета математика на универзитетот Корнел, професорот Стивен Строгац со цел да ги поттикне своите студенти да се заинтересираат за диференцијалните равенки [1]. Сепак произлегло дека проучувањето на динамиката на љубовните афери дава многу интересни резултати коишто се мошне блиску до реалноста. Во реалноста одредена љубовна врска зависи од повеќе нешта и целта на секое наредно обработување на оваа тема е токму приближувањето до што пореален модел во кој би се внеле соодветни константи и променливи кои би биле аналогни на одредено внатрешно или надворешно влијание врз некоја љубовна врска. Особено е значајно да се земе во предвид дека љубовта е многу потурбулентна од чувства кои се опишуваат со константи. Природата на оваа појава неретко вклучува и чувства кои се целосно противречни. Сето ова значи далеку покомплициран модел односно покомплицирани равенки при што веројатноста да се појави хаос во ваквите континуирани динамички системи е значително голема.
Професорот Клинт Спрот од Универзитетот во Висконсин започнал со разгледување на наједноставниот модел - модел во кој љубовната афера зависи единствено од чувствата на самите индивидуи коишто учествуваат во врската. Во својот текст [2], тој ја разгледува динамиката на љубовната афера на Ромео и Јулија, а потоа и третиот партнер Гиневера.
Во овој текст ние воведуваме љубовен пар од еден од 50 најдобри цртани досега: Попај и Олива. Од математичкиот апарат се употребуваат диференцијалните равенки кои се равенки чие решение не е конкретен број туку точно определена функција според која се менува одредена променлива. За функцијата да биде еднозначно определена, потребно е да ги знаеме почетните услови на системот. Во нашиот случај, променливите во диференцијалните равенки се љубовта на Олива кон Попај О, односно љубовта на Попај кон Олива P. Променливата О односно P може да имаат и позитивни и негативни вредности, како што е и прикажано на Слика 1, дијаграмот од десно.
Доближувањето до суштината на љубовта е нешто што ги поттикнало и математичарите да пробаат да ја квантифицираат љубовта со употреба на равенки и броеви. Првите математички модели за романтичните релации помеѓу човечките индивидуи датираат од пред нешто повеќе од 50 години. Денес се развиени повеќе математички модели за објаснување на динамиката на љубовна афера, како меѓу двајца, така и меѓу тројца и повеќе партнери. Почетокот на ваквите истражувања го направил американскиот професор на катедрата по применета математика на универзитетот Корнел, професорот Стивен Строгац со цел да ги поттикне своите студенти да се заинтересираат за диференцијалните равенки [1]. Сепак произлегло дека проучувањето на динамиката на љубовните афери дава многу интересни резултати коишто се мошне блиску до реалноста. Во реалноста одредена љубовна врска зависи од повеќе нешта и целта на секое наредно обработување на оваа тема е токму приближувањето до што пореален модел во кој би се внеле соодветни константи и променливи кои би биле аналогни на одредено внатрешно или надворешно влијание врз некоја љубовна врска. Особено е значајно да се земе во предвид дека љубовта е многу потурбулентна од чувства кои се опишуваат со константи. Природата на оваа појава неретко вклучува и чувства кои се целосно противречни. Сето ова значи далеку покомплициран модел односно покомплицирани равенки при што веројатноста да се појави хаос во ваквите континуирани динамички системи е значително голема.
Професорот Клинт Спрот од Универзитетот во Висконсин започнал со разгледување на наједноставниот модел - модел во кој љубовната афера зависи единствено од чувствата на самите индивидуи коишто учествуваат во врската. Во својот текст [2], тој ја разгледува динамиката на љубовната афера на Ромео и Јулија, а потоа и третиот партнер Гиневера.
Во овој текст ние воведуваме љубовен пар од еден од 50 најдобри цртани досега: Попај и Олива. Од математичкиот апарат се употребуваат диференцијалните равенки кои се равенки чие решение не е конкретен број туку точно определена функција според која се менува одредена променлива. За функцијата да биде еднозначно определена, потребно е да ги знаеме почетните услови на системот. Во нашиот случај, променливите во диференцијалните равенки се љубовта на Олива кон Попај О, односно љубовта на Попај кон Олива P. Променливата О односно P може да имаат и позитивни и негативни вредности, како што е и прикажано на Слика 1, дијаграмот од десно.
Слика 1.
За овие променливи има точно одредена законитост по која тие се менуваат со текот на времето t, и тоа е дадено со изразите cO + dP односно aO + bP на десната страна од системот диференцијални равенки. Овој систем е линеарен дводимензионален систем токму поради едноставната линеарна зависност на временските изводи на двете променливи O и P од самите променливи во некој момент од времето. Едноставноста произлегува од претпоставката дека текот на љубовната афера зависи само од чувствата кои партнерите ги имаат еден за друг. Параметрите a,b,c и d се веројатно најзначајниот дел од диференцијалната равенка бидејќи од нивните вредности зависи како ќе се одвива љубовната афера. Овие четири параметри всушност ни даваат четири различни романтични стилови односно ни покажуваат како се однесува индивидуата во љубовната врска. Да го разгледаме поконкретно стилот на Олива во зависност од параметрите a и b. За Попај важи истата дискусија, при што неговиот романтичен стил е опишан со другите два параметра c и d.
Во зависност од романтичните стилови можно е различно поведение на променливте О и P со времето. Сите овие промени можеме да ги претставиме на график каде ќе набљудуваме како ќе се менува нивната љубов со текот на времето. Така, во случај кога Олива е самобендисан чудак, а Попај е претпазлив љубовник добиваме график на кој се исцртува периодичност односно одреден период Олива го сака Попај , а одреден период го мрази. Исто така, Попај одреден период ја сака Олива, а одреден период ја мрази. Доколку на графикот наместо зависност на љубовта на Олива и Попај од времето прикажеме зависност на љубовта на Попај од љубовта на Олива тогаш имаме претставување на зависноста во фазна рамнина односно ја прикажуваме зависноста на едната променлива од другата. Во овој случај тоа е зависноста на променливата P од променливата O.
- Љубовџија (a > 0, b > 0) – Олива е охрабрена и од своите чувства кон Попај и од чувствата на Попај кон неа за да преземе нешто во врска со нивната љубовна афера. Како пример за ваквиот тип на романтичен стил го наведуваме Дон Жуан, кој е познат лик во литературата како исклучителен љубител на жени.
- Самобендисан чудак (бубалица) (a > 0, b < 0) – Олива е поттикната од своите чувства кон Попај, но е обесхрабрена од неговите чувства кон неа. Пример е данскиот филозоф Сорен Киркегор, кој иако бил силно вљубен во својата вереница Регина, сепак ја оставил сметајќи дека таа никогаш нема да може да биде среќна со човек каков што е тој. До крајот на својот живот Киркегор никогаш не бил со ниту една друга жена.
- Претпазлив љубовник (а < 0, b > 0) – Олива бега од своите чувства, но чувствата на Попај ја охрабруваат. Најголем дел од луѓето спаѓаат токму во оваа група.
- Осаменик (a < 0, b < 0) – Олива негативно реагира и на своите чувства и на чувствата на Попај кон неа. Kако пример го посочуваме ликот Раскољников од руското дело ”Злосторство и казна” кој живеејќи во беда е растргнат меѓу она што е морално или неморално, она што смета дека го заслужува или не го заслужува. Токму затоа тој сметал дека не ја заслужува љубовта на девојката Соња и пробувал да ја оттргне од себе, како и да ги поттисне своите чувства.
Во зависност од романтичните стилови можно е различно поведение на променливте О и P со времето. Сите овие промени можеме да ги претставиме на график каде ќе набљудуваме како ќе се менува нивната љубов со текот на времето. Така, во случај кога Олива е самобендисан чудак, а Попај е претпазлив љубовник добиваме график на кој се исцртува периодичност односно одреден период Олива го сака Попај , а одреден период го мрази. Исто така, Попај одреден период ја сака Олива, а одреден период ја мрази. Доколку на графикот наместо зависност на љубовта на Олива и Попај од времето прикажеме зависност на љубовта на Попај од љубовта на Олива тогаш имаме претставување на зависноста во фазна рамнина односно ја прикажуваме зависноста на едната променлива од другата. Во овој случај тоа е зависноста на променливата P од променливата O.
Реалните појави ги поттикнале математичарите да го проучат и системот во кој наместо двајца ќе има тројца партнери па тоа резултирало со добивање на системи на диференцијални равенки кои можат да бидат четири, пет или шест димензионални системи при што веројатноста за појава на хаос е многу голема. Во овој случај, линеарните диференцијални равенки многу често се заменуваат со нелинеарни диференцијални равенки за поверодостојно опишување на интеракцијата помеѓу партнерите. Во нашиот случај, конечно го воведуваме третиот партнер Дибек, односно Блуто.
Слика 4.
Комплицираноста на случајот е многу голема доколку ги земеме чувствата на секој од партнерите во љубовниот триаголник спрема другите двајца. Ќе биде потребно да разгледуваме 6 димензионален систем односно систем со 6 временски променливи (ќе биде потребно да земеме во предвид што чувствува Олива кон Попај, што кон Дибек, што чувствува Попај кон Дибек, што кон Олива и што чувствува Дибек кон Попај, а што кон Олива. На тој начин се добива 6 димензионалниот систем). Затоа ќе претпоставиме дека Попај и Дибек не знаат еден за друг. Исто така Олива го има истиот романтичен стил и кон двата љубовника - таа е еднакво заинтересирана за двајцата. Може уште да се поедностави ситуацијата доколку земеме дека чувствата на Попај за Олива влијаат на чувствата на Олива за Дибек спротивно од начинот на кој што влијаат чувствата на Дибек за Олива на чувствата на Олива за Попај.Тоа во математичка форма може да се претстави со сѐ уште линеарниот систем од четири диференцијални равенки:
Тука OP е променлива која ја карактеризира љубовта на Олива кон Попај, ОD е љубовта на Олива кон Дибек, P е љубовта на Попај кон Олива, а D е љубовта на Дибек кон Олива. Ние ќе разгледаме специфична модификација на овој систем кој опишува нелинеарен љубовен триаголник, земајќи ги во предвид нелинеарните ефекти на романтичната динамика на Олива кон нејзините љубовници Попај и Дибек. Нелинеарниот систем е зададен на следниот начин:
Дополнителните множители на различните членови од линеарниот систем имаат реална смисла. На пример, во втората равенка, наместо членот cOP ја имаме логистичката поправка cOP(1 - |OP|), чие што значење е следно: Во линеарниот случај, позитивната вредност за параметарот c би значело дека Попај е охрабрен од љубовта на Олива кон него и како таа љубов расте, расте и охрабреноста на Попај кон таа врска. Меѓутоа во нелинеарниот систем дополнителниот множител (1 - |OP|) предизвикува охрабреноста на Попај да има нелинеарно поведение, односно ако љубовта на Олива кон Попај е претерана, тој се обесхрабрува од таквиот однос и започнува да ја избегнува. Спротивно, доколку Олива претерано го мрази Попај, тој е охрабрен од таквиот однос на Олива кон него и започнува да искажува симпатии кон неа иако пред тоа ја избегнувал, односно ја мразел. Ова поведение одговара на реалните ситуации кога претераната љубов односно омраза на еден од партнерите во врската буди спротивни чувства кај другиот партнер. Во конкретниот нелинеарен случај за одредени параметри на системот се појавува хаотична динамика на романтичното поведение, што се согледува во чувствителноста на романтичното поведение на љубовниците од почетните услови.
Графичкиот приказ на променливите ОP и P во зависност од времето се прикажани на Слика 5. Параметрите на романтичните стилови на тројцата љубовници изнесуваат: a = –3, b = 4 (Олива е претпазлив љубовик), e = 2 и f = –1 (Дибек е претпазлив љубовник) и c = –7 и d = 2 (Попај е самобендисан чудак).
Графичкиот приказ на променливите ОP и P во зависност од времето се прикажани на Слика 5. Параметрите на романтичните стилови на тројцата љубовници изнесуваат: a = –3, b = 4 (Олива е претпазлив љубовик), e = 2 и f = –1 (Дибек е претпазлив љубовник) и c = –7 и d = 2 (Попај е самобендисан чудак).
Слика 5. Динамиката на романтичните стилови на Попај и Олива во љубовен триаголник со Дибек. Со сино е означена промената на променливата ОP додека со портокалова боја е означена промената на променливата P.
|
Слика 6. Динамиката на романтичните стилови на Попај и Олива во фазна рамнина. Се појавува т.н. “чуден атрактор”
|
Тука се забележува дека фазната траекторија за овие параметри има комплицирана структура. Tраекторијата конвергира кон "чуден атрактор" при што променливите се менуваат непериодично и се ограничени во фиксен фазен волумен. Во нашиот случај, добивме чуден атрактор за веќе запишаните вредности на параметрите a, b, c, d ,e и f. Доколку го менуваме само параметарот a, а другите ги чуваме фиксни, тогаш за одредени вредности на параметарот а чудниот атрактор преминува во периодична орбита, а со понатамошно менување на а, периодичната орбита преминува во стабилна фиксна точка. Ваквите промени во системот при дадена вредност на некој контролен параметар, во случајов параметарот а, се наречени бифуркации.
Слика 7. Бифуркационен дијаграм во зависност од параметарот а. Доколку ја зголемуваме вредноста на параметарот a, добиваме неколку типа на бифуркација. За вредност на параметарот а ~= -3.52, имаме премин од фиксна точка кон периодична орбита. Кога а ~= -3.28, периодичната орбита преминува во хаотичен (чуден) атрактор.
Всушност, резултантното поведение добиено со овие пресметувања и не е многу далеку од реалноста. Дводимензионалните системи никогаш не се хаотични па кај нив најкомплицираниот случај е периодичната орибита односно периодичното “сакање и мразење” на Попај и Олива. На пример, Олива првата недела го сака Попај, втората го мрази, третата повторно го сака, па четвртата повторно го мрази и ваквите промени постојано се повторуваат. Но, доколку промената на љубовта на Олива кон Попај се случува на непериодичен начин (на пример, Олива првата недела го сака Попај, па потоа три дена го мрази, па два дена го сака, па пет месеци го мрази.. ) тоа веќе ни укажува на постоење на трето лице во оваа врска. Она што останува е да се запрашаме како би изгледал системот доколку имаме повеќе од тројца партнери и сите тие знаат еден за друг. Можеби нивното проучување ќе доведат до нови и уште поинтересни сознанија за динамиката на љубовните афери.
Извори:
[1] Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering.
[2] Sprott, J. C. (2004). Dynamical models of love, Journal of Nonlinear Dynamics, Psychology and Life Sciences.
Автори:
Моника Пешевска и д-р Александар Ѓурчиновски,
Институт за физика, Природно математички факултет, Скопје
Објавено на ПОИМ:
3 август 2016
Начин на цитирање на статијата:
М. Пешевска, А. Ѓурчиновски, Нелинеарната динамика на љубовните афери, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 3 август 2016, http://poim-pmf.weebly.com/ljubovni-aferi.html
Download (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.
[1] Strogatz, S. H. (1994). Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering.
[2] Sprott, J. C. (2004). Dynamical models of love, Journal of Nonlinear Dynamics, Psychology and Life Sciences.
Автори:
Моника Пешевска и д-р Александар Ѓурчиновски,
Институт за физика, Природно математички факултет, Скопје
Објавено на ПОИМ:
3 август 2016
Начин на цитирање на статијата:
М. Пешевска, А. Ѓурчиновски, Нелинеарната динамика на љубовните афери, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 3 август 2016, http://poim-pmf.weebly.com/ljubovni-aferi.html
Download (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.