НАУЧНО - ПОПУЛАРНИ СТАТИИСе залагаме за зголемување на свеста за местото и улогата на математиката во науките, технологијата, наставата, природата и културата.
|
метрички простори

Метричките простори се многу важен концепт во математичката анализа и топологијата. Некои резултати од теоријата на метричките простори се клучни во обопшувањето на некои (на пример: интегрално сметање во n-димензии, формалното дефинирање на топка итн) или пак воведување на нови поими (отворени/затворени множества, концептот на мера итн). Со воведувањето на поимот за метрички простор се постигнува апстракција во поглед на поимот растојание, слично како што со векторските простори се постигнува апстракција на поимот вектор.
Нека е непразно множество. За едно пресликување d од декартовиот производ X x X во множеството на реалните броеви кое ги исполнува следниве услови:
(i) d(x,y) = 0 ако и само ако x=y;
(ii) d(x,y) = d(y,x) (симетрија);
(iii) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y) (неравенство на триаголник)
за секои x,y,z \in X велиме дека е метрика или растојание во X, а двојката (X,d) се нарекува метрички простор.
Елементите на метричкиот простор ги нарекуваме точки. Под поимот “точки” не подразбираме секогаш точки во просторот, туку тие може да бидат низи, функции, слики, звуци, сигнали, итн.
Кога зборуваме за метрички простор неминовно е да го споменеме и Евклидскиот простор дефиниран со Евклидска метрика.
Во математиката, eвклидскиот простор е тридимензионален простор од евклидската геометрија, а се однесува и на обопштување на овие поими за повисоки димензии. Класичната старогрчка геометрија го дефинира евклидскиот простор користејќи одредени аксиоми, додека другите својства на овие простори се определени како теореми. Во модерната математика евклидскиот простор почесто се дефинира во Декартов координатен систем и преку идеите на аналитичката геометрија. Овој пристап ги овозможува да се решаваат прашања од геометрија со помош на алатките од алгебра и диференцијално сметање и ја има предноста да се обопштува лесно до евклидски простори на повеќе од три димензии. Од оваа модерна гледна точка, постои само еден Евклидов простор за секоја димензија. Во првата димензија ова е реална права, во втората димензија е Декартовиот простор R^2, а во повисоките димензии е Декартов простор со три или повеќе координати од реални броеви. Накратко n-димезионален, реален Декартов простор. Точка во евклидски простор може да се идентификува како низа од реални броеви, а растојание меѓу две точки се дефинира користејќи ја евклидската формула за растојание. Математичарите често го означуваат n–димензионалниот евклидски простор со R^n, или понекогаш сo E^n, ако сакаат да ја истакнат неговата евклидска природа. Евклидските простори имаат ограничена димензија.
Нека (X,d) е метрички простор, a\in X и r е позитивен реален број. Отворена топка со центар во a и радиус r е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) < r }, а затворена топка е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) <= r }. Сфера со центар во а и радиус r е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) = r}. Сфера со центар во точката A\in R^n со координати (а1,a2,...,an) и радиус r е подмножеството точки X од R^n кои го задоволуваат условот d(X,A)=r. Евклидската метрика во R^n го определува најкраткото праволиниско растојание меѓу две точки X,Y во R^n со равенката d(X,Y)=sum_k=1^n ((xk-yk)^2)^1/2. Постои и поопшта метрика, наречена lp-метрика која се дефинира со d(X,Y)=sum_k=1^n ((xk-yk)^p)^1/p, каде што p>0. Јасно, за n=2, lp-метриката е евклидската метрика.
Нека е непразно множество. За едно пресликување d од декартовиот производ X x X во множеството на реалните броеви кое ги исполнува следниве услови:
(i) d(x,y) = 0 ако и само ако x=y;
(ii) d(x,y) = d(y,x) (симетрија);
(iii) d(x,y) <= d(x,z)+d(z,y) (неравенство на триаголник)
за секои x,y,z \in X велиме дека е метрика или растојание во X, а двојката (X,d) се нарекува метрички простор.
Елементите на метричкиот простор ги нарекуваме точки. Под поимот “точки” не подразбираме секогаш точки во просторот, туку тие може да бидат низи, функции, слики, звуци, сигнали, итн.
Кога зборуваме за метрички простор неминовно е да го споменеме и Евклидскиот простор дефиниран со Евклидска метрика.
Во математиката, eвклидскиот простор е тридимензионален простор од евклидската геометрија, а се однесува и на обопштување на овие поими за повисоки димензии. Класичната старогрчка геометрија го дефинира евклидскиот простор користејќи одредени аксиоми, додека другите својства на овие простори се определени како теореми. Во модерната математика евклидскиот простор почесто се дефинира во Декартов координатен систем и преку идеите на аналитичката геометрија. Овој пристап ги овозможува да се решаваат прашања од геометрија со помош на алатките од алгебра и диференцијално сметање и ја има предноста да се обопштува лесно до евклидски простори на повеќе од три димензии. Од оваа модерна гледна точка, постои само еден Евклидов простор за секоја димензија. Во првата димензија ова е реална права, во втората димензија е Декартовиот простор R^2, а во повисоките димензии е Декартов простор со три или повеќе координати од реални броеви. Накратко n-димезионален, реален Декартов простор. Точка во евклидски простор може да се идентификува како низа од реални броеви, а растојание меѓу две точки се дефинира користејќи ја евклидската формула за растојание. Математичарите често го означуваат n–димензионалниот евклидски простор со R^n, или понекогаш сo E^n, ако сакаат да ја истакнат неговата евклидска природа. Евклидските простори имаат ограничена димензија.
Нека (X,d) е метрички простор, a\in X и r е позитивен реален број. Отворена топка со центар во a и радиус r е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) < r }, а затворена топка е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) <= r }. Сфера со центар во а и радиус r е множеството T(a,x)={ x\in X | d(a,x) = r}. Сфера со центар во точката A\in R^n со координати (а1,a2,...,an) и радиус r е подмножеството точки X од R^n кои го задоволуваат условот d(X,A)=r. Евклидската метрика во R^n го определува најкраткото праволиниско растојание меѓу две точки X,Y во R^n со равенката d(X,Y)=sum_k=1^n ((xk-yk)^2)^1/2. Постои и поопшта метрика, наречена lp-метрика која се дефинира со d(X,Y)=sum_k=1^n ((xk-yk)^p)^1/p, каде што p>0. Јасно, за n=2, lp-метриката е евклидската метрика.
Единични p-сфери во 2 и 3 –димензионален простор за различни вредности на p.
Велиме дека растојанието помеѓу две планети е 1 ако не е истата планета, а е 0 ако станува збор за една иста планета. Тогаш нашиот метрички простор е множество од сите планети во универзумот споени со релацијата „е иста планета”. Малку е налудничаво, но ги задоволува сите особини на метрика. Истата метрика важи за сите множества, на пример можеме да го земеме множеството луѓе и да кажеме дека нивното растојание е 1 ако не се работи за истата личност и 0 ако се работи за истата личност. Ваквата метрика се нарекува дискретна метрика. Нејзината формална дефиниција е: Едно пресликување d oд X x X во R^n дефинирано со d(x,y)=1, ако x e различно од y, и, d(x,y)=0, ако x = y се нарекува дискретна метрика, а просторот (X,d) се нарекува дискретен метрички простор. Да разгледаме што се случува со отворени/затворени топки и сфери во дискретен метрички простор. Во дискретен метрички простор топка претставува множество точки кое е едноелементно, т.е. го содржи само центарот на топката за вредности на радиусот помали или најмалку еднакви на 1, а за вредности на радиусот строго поголеми од 1, топката ќе ги опфаќа сите точки од множеството. Сфера со центар во а и радиус r, во дискретен метрички простор, е празно множество, ако радиусот е различен од 1, а е целото множество X без точката а, ако r=1.
Отворена топка Т((0,0),r) е внатрешноста на квадрат.
|
Една од најубавите работи поврзани со математиката е тоа што содржи концепти со кои се среќаваме секојдневно, без да ги приметиме, наогајќи сличности и потоа градиме општи теории кои универзално се совпаѓаат. Кога зборуваме за растојание мислиме на метрички простор на сите локации меѓу кои ги мериме растојанијата. Најопшто следи заклучокот дека сѐ она со кое математиката се бави во рамките на реалните n-димензионални Евклидови простори може да се обопшти на произволен метрички простор (диференцирање, интегрирање, геометрија во произволен метрички простор). Токму тука се границите на математичката анализа и делот каде што таа преминува во топологија.
|
Литература
[1] Скрипта метрички простори –Марија Оровчанец редовен професор на ПМФ-Скопје, Институт за математика
[2] http://math.stackexchange.com/
[3] http://cnx.org/
Автор:
Ангела Стојановска, студент на Институт за математика, Природно математички факултет, Скопје
Награден труд (трето место) на 43. Приматијада одржана од 28.04.2015 до 01.05.2015, Албена, Р. Бугарија.
Ментор: проф. д-р Марија Оровчанец
Објавено на ПОИМ:
9 мај 2016
Начин на цитирање на статијата:
А. Стојановска, Метрички простори, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 9 мај 2016, http://poim-pmf.weebly.com/metricki-prostori.html
Download (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.
[1] Скрипта метрички простори –Марија Оровчанец редовен професор на ПМФ-Скопје, Институт за математика
[2] http://math.stackexchange.com/
[3] http://cnx.org/
Автор:
Ангела Стојановска, студент на Институт за математика, Природно математички факултет, Скопје
Награден труд (трето место) на 43. Приматијада одржана од 28.04.2015 до 01.05.2015, Албена, Р. Бугарија.
Ментор: проф. д-р Марија Оровчанец
Објавено на ПОИМ:
9 мај 2016
Начин на цитирање на статијата:
А. Стојановска, Метрички простори, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 9 мај 2016, http://poim-pmf.weebly.com/metricki-prostori.html
Download (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.