СТАТИИ ЗА НАСТАВАТА ПО МАТЕМАТИКАСе залагаме за зголемување на свеста за местото и улогата на математиката во науките, технологијата, наставата, природата и културата.
|
Паскалов триаголник
- конструкција, шеми од броеви и примени
Паскалов триаголник е бесконечен аритметички триаголник составен од броеви распоредени по редици, според одредено правило, почнувајќи од бројот 1 на врвот.
Овој триаголник, иако го добил името според францускиот математичар Блез Паскал (Blaise Pascal) којшто живеел во XVII век, бил познат многу векови пред неговото раѓање. Сепак, името Паскалов триаголник останало, зашто тој ги организирал дотогаш познатите својства на овие броеви во неговото дело:”Traité du triangle arithmétique” („Расправа за аритметичкиот триаголник“), објавено во 1653 година. |
Паскаловиот триаголник бил познат во Персија и Кина, а подоцна и во Италија, многу пред Паскал да го напише своето дело.
Иако работата на кинескиот математичар Чиа Хсиен веќе не постои (живеел околу 1050 г. од н.е.), откриено е дека тој го користел овој триаголник за да ги пресметува квадратните и кубните корени на природните броеви. Незвисно од него, персискиот математичар Омар Kајам (1048–1113) ги пресметувал квадратните корени на природните броеви користејќи го овој триаголник. Откритието на Чиа Хсиен за врската меѓу пресметувањето корени и броевите од триаголникот влијаело на работата на многу кинески алгебристи, коишто се обидувале да дадат решение на равенките со степен поголем од 3. Јанг Хуи (1261–1275) го направил првиот приказ на денешниот Паскалов триаголник, но со кинески симболи (види Слика 1). Џу Шиѓие (Zhu Shijie, пин’јин транскрипција), направил визуелен приказ на триаголникот во 1303 година.
Иако работата на кинескиот математичар Чиа Хсиен веќе не постои (живеел околу 1050 г. од н.е.), откриено е дека тој го користел овој триаголник за да ги пресметува квадратните и кубните корени на природните броеви. Незвисно од него, персискиот математичар Омар Kајам (1048–1113) ги пресметувал квадратните корени на природните броеви користејќи го овој триаголник. Откритието на Чиа Хсиен за врската меѓу пресметувањето корени и броевите од триаголникот влијаело на работата на многу кинески алгебристи, коишто се обидувале да дадат решение на равенките со степен поголем од 3. Јанг Хуи (1261–1275) го направил првиот приказ на денешниот Паскалов триаголник, но со кинески симболи (види Слика 1). Џу Шиѓие (Zhu Shijie, пин’јин транскрипција), направил визуелен приказ на триаголникот во 1303 година.
Слика 1. Приказ на Паскаловиот триаголник со кинески симболи, направен од Јанг Хуи (1261–1275)
Дури и тогаш се сметало дека овој триаголник е познат од многу старо време. Во Индија, поетот Пинтала (живеел околу II век п.н.е.) го користел Паскаловиот триаголник за решавање на некои прашања во поезијата.
1. Конструкција на Паскаловиот триаголник
Паскаловиот триаголник може да се конструира почнувајќи од единицата на врвот (нулти ред) и од првиот ред каде што се запишани две единици. Почнувајќи од вториот ред треба да се следи едно едноставно правило: препиши ги единиците на краевите, а во средината стави го бројот што е збир на горните два, т.е. го добиваме бројот 2. Ова правило се повторува во секој следен ред. На пример, во третиот ред ги препишуваме двете единици (едната на крајот одлево, другата на крајот оддесно) а во средината добиваме два броја: 1+2=3 и 2+1=3, како што е прикажано на Слика 2.
1. Конструкција на Паскаловиот триаголник
Паскаловиот триаголник може да се конструира почнувајќи од единицата на врвот (нулти ред) и од првиот ред каде што се запишани две единици. Почнувајќи од вториот ред треба да се следи едно едноставно правило: препиши ги единиците на краевите, а во средината стави го бројот што е збир на горните два, т.е. го добиваме бројот 2. Ова правило се повторува во секој следен ред. На пример, во третиот ред ги препишуваме двете единици (едната на крајот одлево, другата на крајот оддесно) а во средината добиваме два броја: 1+2=3 и 2+1=3, како што е прикажано на Слика 2.
Слика 2. Конструкција на Паскаловиот триаголник
При разгледувањето на елементите од Паскаловиот триаголник, обично се означува бројот на редот, почнувајќи од редот 0 (единицата на врвот) и местото 0. На пример, бројот 21 се појавува во седмата редица на петтото место.
Интересно е да се напомене дека Паскаловата конструкција на триаголникот малку се разликува од денешната. Тој ги поставил броевите во хоризонтални редови, притоа пишувајќи во првиот ред и во првата колона само единици, а секој следен елемент во ре¬дот се добивал со собирање на бројот од горниот ред заедно со броевите што му доаѓаат од левата страна. Така на пример, четвртиот број од четвртиот ред (бројот 20) е еднаков на 10+6+3+1 (види Слика 3).
Интересно е да се напомене дека Паскаловата конструкција на триаголникот малку се разликува од денешната. Тој ги поставил броевите во хоризонтални редови, притоа пишувајќи во првиот ред и во првата колона само единици, а секој следен елемент во ре¬дот се добивал со собирање на бројот од горниот ред заедно со броевите што му доаѓаат од левата страна. Така на пример, четвртиот број од четвртиот ред (бројот 20) е еднаков на 10+6+3+1 (види Слика 3).
Слика 3. Паскаловата конструкција на триаголникот
2. Разни шеми од броеви содржани во Паскаловиот триаголник
Иако Паскаловиот триаголник лесно се конструира, тој во себе содржи многу различни шеми, од кои некои се едноставни, но изненадувачки, а некои се сложени.
2.1. Природни броеви
Природните броеви се појавуваат во првата и втората „дијагонала“ од Паскаловиот триаголник, односно, во линиите под рабовите што се состојат само од едници.
Иако Паскаловиот триаголник лесно се конструира, тој во себе содржи многу различни шеми, од кои некои се едноставни, но изненадувачки, а некои се сложени.
2.1. Природни броеви
Природните броеви се појавуваат во првата и втората „дијагонала“ од Паскаловиот триаголник, односно, во линиите под рабовите што се состојат само од едници.
2.2. Триаголни, квадратни, тетраедарски и шестаголни броеви
Триаголните, квадратните и шестаголните броеви се многуаголни броеви, т.е. броеви коишто можат да се претстават во правилен геометриски распоред на подеднакво оддалечени точки. Според тоа, триаголен број е многуаголен број којшто може да се претстави во форма на триаголна шема од точки, каде што првиот ред содржи само една точка, а секој следен (односно претходен) ред содржи точка повеќе.
Триаголните, квадратните и шестаголните броеви се многуаголни броеви, т.е. броеви коишто можат да се претстават во правилен геометриски распоред на подеднакво оддалечени точки. Според тоа, триаголен број е многуаголен број којшто може да се претстави во форма на триаголна шема од точки, каде што првиот ред содржи само една точка, а секој следен (односно претходен) ред содржи точка повеќе.
Првите неколку триаголни броеви се: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ..., т.е. броевите: 1, 3, 6, 10, 15, итн. Тие се наоѓаат во третата „дијагонала“ во Паскаловиот триаголник.
Можеме да забележиме дека триаголен број (да го означиме со Tn) се добива со последователно собирање на природните броеви што се помали или еднакви на даден природен број n, т.е.
Tn = 1 + 2 + 3 + ... + n = n•(n+1) / 2
Квадратен број е многуаголен број којшто може да се претстави во форма на квадратна шема од n^2 точки.
Да забележиме дека квадратот на еден број n од вторатата дијагонала е еднаков на збирот на два триаголни броја: едниот директно под бројот чиј квадрат се бара, а другиот лево од него. На пример: 2^2 = 1 + 3 = 4, 3^2 = 3 + 6 = 9, 4^2 = 6 + 10 = 16, 5^2 = 10 + 15 = 25 итн. Имено, збир на два последователни триаголни броја е квадратен број:
Шестаголен број е многуаголен број којшто може да се претстави во правилна геометриска форма од подеднакво оддалечени точки во вид на правилен шестаголник.
Првите неколку шестаголни броеви се: 1, 6, 15, 28, 45, ... Формулата според која се добива n-тиот шестаголен број е Sn = n•(2n-1). Секој шестаголен број е и триаголен број, па според тоа, тие се наоѓаат во третата „дијагонала“ од Паскаловиот триаголник, при што се зема секој втор број почнувајќи од 1.
Тетраедарски број е број којшто може да се претстави во правилна геометриска форма од подеднакво оддалечени точки во вид на тетраедар. Тетраедарски број се нарекува ипирамидален број.
Првите неколку пирамидални броеви се: 1, 4 = 3 + 1, 10 = 6 + 3+ 1, 20 = 10 + 6 + 3 + 1, ... Тетраедарските броеви се добиваат како збир на последователни триаголни броеви. Формулата според која се добива n-тиот тетраедарски број е Pn = n•(n+1)•(n+2) / 6. Тетраедарските броеви ги има во четвртата „дијагонала“ на Паскаловиот триаголник.
2.3. Степени на броевите 2, 11 и 10^n - 1
Ако ги собереме броевите по редици ќе добиеме:
Ако ги собереме броевите по редици ќе добиеме:
1 = 2^0
1 + 1 = 2 = 2^1
1 + 2 + 1 = 4 = 2^2
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4
1 + 1 = 2 = 2^1
1 + 2 + 1 = 4 = 2^2
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4
т.е. збирот на броевите по редици се степени на бројот 2, со експонент бројот на редот.
Секој од степените на бројот 11, при што експонентот е бројот на редот, е претставен во секој ред соодветно, како што е прикажано на Слика 4.
Секој од степените на бројот 11, при што експонентот е бројот на редот, е претставен во секој ред соодветно, како што е прикажано на Слика 4.
Слика 4. Степени на бројот 11.
Но, во петтиот ред треба да се постапи поинаку. Очигледно, 11^5 ≠ 15101051. Наместо обичното запишување на броевите еден зад друг, тука настанува преклопување и собирање. Единиците на почетокот и на крајот остануваат, а се собираат само преклопувањата кај десетките: 5+1=6, 0+1=1, при што се добива бројот 11^5 = 161051. Истото се случува и со 11^6.
Слично како за 11, Паскаловиот триаголник може да се искористи за да се пресметаат вредностите на сепените на 101, 1001, 10001 и општо, степените на броеви од обликот 10^n - 1, т.е. броеви од обликот 10...01 (со n нули). Да ги разгледаме, на пример, степените на 101.
Соодветните степени на 101 одговараат на редиците во Паскаловиот триаголник сé до 101^8. За 101^9 постапуваме слично како за 11^5. Бидејќи 126 е трицифрен број, стотката ја додаваме како 1 на 84, другата стотка од вториот трицифрен број 126 ја додаваме како 1 на 26.
Потоа, за степените на 1001 би имале:
Овде, првиот проблем настанува кај 1001^13. Во тој ред ги имаме броевите:
Слика 5. Зајаците од проблемот на Фибоначи
Да претпоставиме дека на почетокот на годината, на пример, во јануари имаме еден пар зајаци. Тие сé уште не се зрели да имаат потомство, но на крајот на вториот месец веќе имаат потомство и тоа се уште еден пар зајаци. Во март ќе имаме, покрај стариот пар зајаци, нов пар зајаци, кој ќе биде зрел следниот месец. Значи, вкупно два пара. Во април ќе го имаме првобитниот пар зајаци, новиот зрел пар и уште еден пар зајаци, потомци на првобитниот пар зајаци, тоа се три пара зајаци. Значи, се добива низата (од парови зајаци): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (види Слика 5). Така, на крајот на годината ќе има 144 пара зајаци и сите ќе потекнуваат од првиот пар зајаци. Секој член на оваа низа е наречен Фибоначиев број. Како што се гледа од низата, секој број (освен првите два) може да се добие со собирање на претходните два. На пример, следниот број во горната низа е 89 + 144 = 233.
Интересно е дека Фибоначиевите броеви се поврзани со Паскаловиот триаголник. Збирот на броевите од соодветните редици во Паскаловиот триаголник, почнувајќи од втората (нултата се препишува, а од првата се пренесува само единица), ги дава точно броевите од низата (види Слика 6).
Интересно е дека Фибоначиевите броеви се поврзани со Паскаловиот триаголник. Збирот на броевите од соодветните редици во Паскаловиот триаголник, почнувајќи од втората (нултата се препишува, а од првата се пренесува само единица), ги дава точно броевите од низата (види Слика 6).
Слика 6. Фибоначиеви броеви
2.5. Мерсенови броеви
Мерсеновите броеви се броеви од облик 2^n - 1. Ако ги собереме сите броеви од првите n редици на Паскаловиот триаголник ќе го добиеме n-тиот Мерсенов број. Овие броеви се користат при наоѓање на многу големи прости броеви, зашто тие имаат интерсна особина: ако n е прост број, тогаш одвреме навреме и n-тиот Мерсенов број ќе е прост број. На пример, ако ги собереме броевите од првите 5 редици, ќе го добиеме петтиот Мерсенов број – бројот 31, кој е еднаков на 2^5 - 1 (види Слика 7). Бидејќи 5 е прост број, има можност и бројот 31 да е прост број...што и е. Најголемиот Мерсенов број што е познат денес е бројот 2^20996011 - 1. Ова е број со 6320430 цифри.
Мерсеновите броеви се броеви од облик 2^n - 1. Ако ги собереме сите броеви од првите n редици на Паскаловиот триаголник ќе го добиеме n-тиот Мерсенов број. Овие броеви се користат при наоѓање на многу големи прости броеви, зашто тие имаат интерсна особина: ако n е прост број, тогаш одвреме навреме и n-тиот Мерсенов број ќе е прост број. На пример, ако ги собереме броевите од првите 5 редици, ќе го добиеме петтиот Мерсенов број – бројот 31, кој е еднаков на 2^5 - 1 (види Слика 7). Бидејќи 5 е прост број, има можност и бројот 31 да е прост број...што и е. Најголемиот Мерсенов број што е познат денес е бројот 2^20996011 - 1. Ова е број со 6320430 цифри.
Слика 7. Петтиот Мерсенов број 2^5 - 1 = 31
2.6. Триаголник на Серпински
Во Паскаловиот триаголник се крие еден друг триаголник, наречен триаголник на Серпински. Овој триаголник е шема што се добива кога од рамностран триаголник ќе се от¬стра¬ни триаголникот добиен од средните линии, а потоа, во секој од добиените рамнострани триаголници се отстранува средината и така, до бесконечност (види Слика 8).
Во Паскаловиот триаголник се крие еден друг триаголник, наречен триаголник на Серпински. Овој триаголник е шема што се добива кога од рамностран триаголник ќе се от¬стра¬ни триаголникот добиен од средните линии, а потоа, во секој од добиените рамнострани триаголници се отстранува средината и така, до бесконечност (види Слика 8).
Слика 8. Формирање на триаголникот на Серпински
Овој триаголник може да се поврзе со Паскаловиот на тој начин што парните броеви се бојат со една боја, а непарните броеви со друга (види Слика 9). Други интересни шеми можат да се направат со деливост и деливост со одреден остаток со други броеви, а посебно со оние што се прости броеви (види Слика 10 и Слика 11).
Слика 9. Парни (жолто) и непарни броеви (сино)
Слика 10. Броеви деливи со 3 (жолто) и броеви со ненулти остатоци при делење со 3 (црвено)
Слика 11. Броеви деливи со 4 (зелено) и броеви со ненулти остатоци при делење со 4 (зелено)
3. Примена на Паскаловиот триаголник
3.1. Формули од облик (a+b)^n
Коефициентите што се појавуваат пред секој од собироците во развојот на биномот (a+b)^n, се нарекуваат биномни коефициенти. Постои проста математичка формула за нивно пресметување којашто го вклучува поимот факториел на број (факториел на природниот број n е n!, се чита „ен факториел“ и се пресметува според n!=1•2•3•...•n). Коефициентите на собироците a^(n-k)b^k, каде што 0≤k≤n, се пресметуваат по формулата n!/(k!(n-k!). Притоа, 0!=1, по дефиниција. Овој број е секогаш природен број, и се означува со
3.1. Формули од облик (a+b)^n
Коефициентите што се појавуваат пред секој од собироците во развојот на биномот (a+b)^n, се нарекуваат биномни коефициенти. Постои проста математичка формула за нивно пресметување којашто го вклучува поимот факториел на број (факториел на природниот број n е n!, се чита „ен факториел“ и се пресметува според n!=1•2•3•...•n). Коефициентите на собироците a^(n-k)b^k, каде што 0≤k≤n, се пресметуваат по формулата n!/(k!(n-k!). Притоа, 0!=1, по дефиниција. Овој број е секогаш природен број, и се означува со
и се чита „ен над ка“. Така, за развојот на биномот (a+b)^n имаме
Па, првите неколку развои се
при што се воочува шемата на броевите во Паскаловиот триаголник.
Слика 12. Биномни коефициенти во Паскалов триаголник
На Слика 12 е претставен Паскаловиот триаголник со помош на биномни коефициенти. Собирањето на соодветните елементи во Паскаловиот триаголник, може да се претстави со формулата:
Симетријата во редиците на Паскаловиот триаголник се претставува со формулата:
Биномните коефициенти се применуваат во комбинаторика, во теорија на веројатност, во статистиката, итн.
3.2. Една сосема поинаква примена (Quincunx)
Квинкункс (Quincunx) е интерсна мала машина создадена од сер Франсис Галтон. Тоа е всушност Паскалов триаголник каде што на местото на броевите стојат клинови. Почнувајќи од врвот, топчињата паѓаат на овие клинови, а потоа одбивајќи се од клиновите, паѓаат до дното, каде што се собираат во малечки садови. Секој пат кога топчето ќе се одбие од клин, тоа отскокнува лево или десно, во зависност од однапред дефинираната веројатност (види Слика 13).
3.2. Една сосема поинаква примена (Quincunx)
Квинкункс (Quincunx) е интерсна мала машина создадена од сер Франсис Галтон. Тоа е всушност Паскалов триаголник каде што на местото на броевите стојат клинови. Почнувајќи од врвот, топчињата паѓаат на овие клинови, а потоа одбивајќи се од клиновите, паѓаат до дното, каде што се собираат во малечки садови. Секој пат кога топчето ќе се одбие од клин, тоа отскокнува лево или десно, во зависност од однапред дефинираната веројатност (види Слика 13).
Интересно е дека, откако ке се соберат топчињата од секој од садовите и ако се распоредат во график се добива распределба во форма на ѕвоно, во веројатноста позната како Гаусова нормална распределба. На Слика 14 е прикажано формирањето на една таква распределба по 140 паднати топчиња.
Слика 14. Гаусова нормална распределба на паднатите топчиња во Quincunx
Извори:
[1] http://pages.csam.montclair.edu/~kazimir/index.html
[2] http://mathforum.org/mathimages/index.php/Pascal%27s_triangle
[3] http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/combinatorics/PascalTriangleProperties.shtml
[4] http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
[5] http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_intro.html
Автор:
Владимир Јорданов I-2, СУГС Раде Јовчевски-Корчагин, Скопје
Извадок од проектната задача по математика во учебната 2014-2015 година
Професор:
Ана Бајмак-Грозданова
Објавено на ПОИМ:
4 јуни 2015
Начин на цитирање на статијата:
В. Јорданов, Паскалов триаголник - конструкција, шеми од броеви и примени, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 4 јуни 2015, http://poim-pmf.weebly.com/paskalov-triagolnik.html
[1] http://pages.csam.montclair.edu/~kazimir/index.html
[2] http://mathforum.org/mathimages/index.php/Pascal%27s_triangle
[3] http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/combinatorics/PascalTriangleProperties.shtml
[4] http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
[5] http://mathforum.org/workshops/usi/pascal/pascal_intro.html
Автор:
Владимир Јорданов I-2, СУГС Раде Јовчевски-Корчагин, Скопје
Извадок од проектната задача по математика во учебната 2014-2015 година
Професор:
Ана Бајмак-Грозданова
Објавено на ПОИМ:
4 јуни 2015
Начин на цитирање на статијата:
В. Јорданов, Паскалов триаголник - конструкција, шеми од броеви и примени, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 4 јуни 2015, http://poim-pmf.weebly.com/paskalov-triagolnik.html
Download (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.