ПОИМ
  • Почетна
  • За порталот
  • Статии
    • Научно-популарни статии
    • Статии за наставата по математика
    • Математички омнибус (наука)
    • Математички омнибус (настава)
    • Статии од Месецот на науката
  • Активности
  • Забава
  • ПОИМ споделува ...
  • Рекле за ...
  • Контакт
ПОИМ - Портал на Институтот за математика
www.poim-pmf.weebly.com
Picture

СТАТИИ ЗА НАСТАВАТА ПО МАТЕМАТИКА

Се залагаме за зголемување на свеста за местото и улогата на математиката во науките, технологијата, наставата, природата и културата.
Picture

ПАРКЕТИРАЊЕ СО ПЕТАГОЛНИЦИ

Ако една рамна површина може да се покрие користејќи само идентични копии на една иста рамнинска фигура, без да се остава простор измеѓу и без да има преклопување, тогаш велиме дека таа фигура ја паркетира рамнината. Општо познато е дека секој триаголник и секој четириаголник, било да е конвексен или не, може да паркетира една рамнина.
Picture
Picture
Во 1963 година покажано е дека има точно 3 типа конвексни неправилни шестаголници со кои може да се паркетира рамнина. Тоа се следните шестаголници:
Picture
Равенките што ги опишуваат овие три типа шестаголници, ако шестаголникот е зададен со елементи како на цртежот подолу,  се:
Picture
Се разбира, паркетирањето со правилни шестаголници (како на цртежот десно), е специјален случај на сите три парке­тирања за
Picture
Picture
Ниту еден конвексен седумаголник, осумаголник или кој било друг n-аголник (n>8) не паркетира рамнина.

Работите стануваат поинтересни кога се работи за петаголници. Правилен петаголник не може да паркетира рамнина, но тоа може да се направи со помош на некои неправилни конвексни пет­агол­ници. Имено, потрагата и класифицирањето на неправилните конвексни петаголници со кои може да се паркетира рамнина трае скоро еден век. Овој интересен проблем, чија формулација може да ја разбере и дете, има богата историја. Таа се врзува со осумнаесетиот од славните Хилбертови 23 проблеми. Реша­ва­њето на проблемот започнува со германскиот математичар Карл Рајнхард  (Karl Reinhardt, 1895 - 1941) кој во 1918 година открил 5 типа конвексни петаголници со кои може да се паркетира рамнина. Да појасниме: тој не открил 5 петаголника, туку открил 5 класи пета­гол­ни­ци при што секоја од нив може да се опише со равенки. На цртежите се дадени по еден претставник од секоја класа петаголници на Рајнхард:
Picture
Нивните равенки се:
Picture
Во секоја од овие класи спаѓаат и разни специјални случаи, како на пример, случаите кога две од станите на петаголникот се паралелни. Такви се, на пример овие:
Picture
Многумина сметале дека Рајнхардовата листа е комплетна, кога во 1968 година Р. Б. Кершнер (R. B. Kershner) открил уште три.
Picture
Кершнеровите петаголници се зададени со равенките:
Picture
Во 1975 година, Ричард Џејмс (Richard James) открил уште еден тип петаголни паркети чии равенки се:
Picture
Picture
Истата година, Марџори Рајс (Marjorie Rice) домаќинка од Сан Диего, САД, ја прочитала статијата за Џејмсовото откритие во списанието Scientific American. Како математичар аматер, во периодот од 1976 до 1977 година, успеала да открие уште четири типа петаголници што паркетираат рамнина.
Picture
Во 1985 година Ролф Стајн (Rolf Stein) го открил четиринаесеттиот тип чии равенки се:
Picture
Picture
Но, трагата остинала, сè до пред една година, кога тројца ис­тра­жу­вачи од универ­зи­те­тот во Вашингтон, Кејси Ман, Џенифер Меклауд и Дејвид Вон Дероу (во оригинал: Casey Mann, Jennifer McLoud и David Von Derau), го откриле петнаесеттиот тип користејќи компјутерско преба­ру­ва­ње низ разни можности. Овој петаголник има агли од 60, 135, 105, 90, 150 степени, а неговите страни ги задоволуваат равенствата
a = c = e, b = 2a.
Picture
Сè уште не знаеме дали овие се сите петаголни конвексни паркети и дали има уште што чекаат да бидат откриени.

Една рамнина може да се паркетира и со неконвексни петаголници. Такво е, на пример, сфингиното паркетирање каде што се користи некон­век­сен петаголник формиран од шест рамнострани триаголници. Сфингата може да ја паркетира рамнината периодично, местејќи две сфинги една до друга за да формираат паралелограм (како на сликата долу десно). Потоа рамнината се паркетира со транслација на овој паралелограм.
Picture
Испитувањето на петаголните паркети е интересно заради нивната потенцијална примена. Многу структури во природата, од кристалите до виру­си­те, се изградени од блокови што се принудени геометриски да се поврзат во една целина која би изградила една нова структура. Примената е неизбежна и во архитектурата, но и во фармацијата, зашто многу хемиски соединенија се создаваат од хемиски градбени блокови.
Литература:
[1] Maths in a minute: Tiling troubles, + Plus Magazine, 25 август 2015
[2] Jaap Scherphius, Pentagon Tilngs, www.jaapsch.net/tilings
[3]  Martin Gardner, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments: W. H. Freeman and  Co., (1988) 163-176.
[4]  Eyder Peralta, With Discovery, 3 Scientists Chip Away at an Unsolvable Math Problem
[5]  Кит Девлин, Милениумските проблеми, Магор, 2005
[6] Ivan Niven, Convex Polygons that Cannot Tile the Plane, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 10 (Dec., 1978), pp. 785-792
​[7] Teruhisa Sugimoto, Tohru Ogawa, Tiling Problem of Convex Pentagon, Forma, 15, 75–79, 2000
Автор:
Весна Целакоска-Јорданова, Институт за математика, Природно математички факултет, Скопје 

Објавено на ПОИМ:
20 февруари 2017

​Начин на цитирање на статијата:
В. Целакоска-Јорданова, Паркетирање со петаголници, Портал ПОИМ на Институтот за математика, ПМФ, Скопје, 20 февруари 2017, http://poim-pmf.weebly.com/parketiranje-so-petagolnici.html

Dowload (PDF)
Авторизираните статии објавени на Порталот подлежат на законска заштита. Се забранува користење на статиите без наведување на авторот или изворот.

Copyright © 2015 POIM
Counter for tumblr
Website Stats
Powered by Create your own unique website with customizable templates.